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利用Rényi entropy度量时频分析中的时频能量聚集度

时频分析（TFA, time frequency analysis）的发展目标之一，就是努力提高时频分辨率（另一个目标是信号能够被完美重构。做到完美重构的话，可以使得该TFA技术用于信号去噪，模态分解等方面。）。时频谱具有高时频分辨率，直观地可以理解为时频平面上的高能量聚集性，所以一定程度上，高能量聚集性可以表征高时频分辨率（高能量聚集性不绝对表示高时频分辨率，二者没有绝对联系）。在时频分析中， Rényi entropy 可用于度量时频能量聚集度。

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Rényi entropy 由Alfred Renyi在其1961年的论文中提出，作为香农熵的一种推广，其离散形式如下

记时频能量密度为 ，时频能量聚集度定义为

Rényi entropy 非线性单调递减，因此 越小，表示时频能量聚集度越高。

关于上式的讨论，即 Rényi entropy 在时频分析中的应用，见文献[3].

参考文献：

[1] Renyi Entropy Renyi Divergence - 知乎 (zhihu.com)

[2] WANG S, CHEN X, CAI G, 等. Matching Demodulation Transform and SynchroSqueezing in Time-Frequency Analysis[J/OL]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(1): 69-84. .

[3] BARANIUK R G, FLANDRIN P, JANSSEN A J E M, 等. Measuring time-frequency information content using the Renyi entropies[J/OL]. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 47(4): 1391-1409. .

知识补充

(1) 傅立叶级数：法国数学家 傅里叶 发现，任何周期函数都可以用 正弦函数 和 余弦函数 构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据 欧拉公式 ，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。

(2) 傅立叶变换：将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

(3) 频域，时域与相位之间的关系：

(4) 欧拉公式：

(1) 傅里叶变换的 不足

即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是 方沁园 所说的，“对 非平稳 过程，傅里叶变换有局限性”。

如下图：

做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。

一切没有问题。但是，如果是 频率随着时间变化的非平稳信号 呢？

如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取 一段信号总体上包含哪些频率的成分 ，但是 对各成分出现的时刻并无所知 。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

(2) 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）

一个简单可行的方法就是—— 加窗 。我又要套用 方沁园 同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！

用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：

图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。

是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？

窗太宽太窄都有问题：

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）

所以 窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低 ， 宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高 。对于时变的非稳态信号， 高频适合小窗口，低频适合大窗口 。然而 STFT的窗口是固定的 ，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

(3) 小波变换

那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。

但事实上小波并不是这么做的（关于这一点， 方沁园 同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。）

至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重， STFT做不到正交化 ，这也是它的一大缺陷。

于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。 STFT是给信号加窗，分段做FFT ；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将 无限长的三角函数基 换成了 有限长的会衰减的小波基 。这样 不仅能够获取频率 ，还可以 定位到时间 了~

这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波嘛~

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。 尺度 a控制小波函数的 伸缩 ， 平移量 τ控制小波函数的 平移 。 尺度 就对应于 频率 （反比）， 平移量 τ就对应于 时间 。

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这 不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号 在每个位置都包含哪些频率成分 。

看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

做傅里叶变换只能得到一个 频谱 ，做小波变换却可以得到一个 时频谱 ！

小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在 吉布斯效应 ，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号。

链接：

(1) PSNR(峰值信噪比)

PSNR: Peak Signal to Noise Ratio,一种全参考的图像质量评价指标。 

其中，MSE表示当前图像X和参考图像Y的均方误差（Mean Square Error），H、W分别为图像的高度和宽度；n为每像素的比特数，一般取8，即像素灰阶数为256. PSNR的单位是dB，数值越大表示失真越小。

PSNR是最普遍和使用最为广泛的一种图像客观评价指标，然而它是基于对应像素点间的误差，即基于误差敏感的图像质量评价。由于并未考虑到人眼的视觉特性（人眼对空间频率较低的对比差异敏感度较高，人眼对亮度对比差异的敏感度较色度高，人眼对一个区域的感知结果会受到其周围邻近区域的影响等），因而经常出现评价结果与人的主观感觉不一致的情况。

(2) SSIM(结构相似性)

SSIM: structural similarity index, 是一种衡量两幅图像相似度的指标。它分别从亮度、对比度、结构三方面度量图像相似性。

结构相似性的范围为-1到1。当两张图像一模一样时，SSIM的值等于1。

其他指标：

怎样用python画wav文件的时频分析图

这是python的matplotlib里的一个画wav文件的时频分析（specgram）的函数。和matlab里的那个差不多。使用超级方便，自动就做好了短时傅立叶变换(short

time fourier

transform)～函数用法具体可参照

关于短时傅立叶变换的具体内容可google之～下面介绍程序。

＃首先import各种library。wave和struct都是安装python2.6自带的。scipy可以在

＃下载。pylab可在下载。都是非常＃强大的包包啊～～

import wave

import struct

from scipy import *

from pylab import *

＃读取wav文件，我这儿读了个自己用python写的音阶的wav

filename = '/Users/rongjin/Desktop/scale.wav'

wavefile = wave.open(filename, 'r') # open for writing

＃读取wav文件的四种信息的函数。期中numframes表示一共读取了几个frames，在后面要用到滴。

nchannels = wavefile.getnchannels()

sample_width = wavefile.getsampwidth()

framerate = wavefile.getframerate()

numframes = wavefile.getnframes()

＃建一个y的数列，用来保存后面读的每个frame的amplitude。

y = zeros(numframes)

＃for循环，readframe(1)每次读一个frame，取其前两位，是左声道的信息。右声道就是后两位啦。

＃unpack是struct里的一个函数，用法详见。简单说来

就是把＃packed的string转换成原来的数据，无论是什么样的数据都返回一个tuple。这里返回的是长度为一的一个

＃tuple，所以我们取它的第零位。

for i in range(numframes):

val =

wavefile.readframes(1)

left =

val[0:2]

#right = val[2:4]

v =

struct.unpack('h', left )[0]

y[i] =

v

＃framerate就是44100，文件初读取的值。然后本程序最关键的一步！specgram！实在太简单了。。。

Fs = framerate

specgram(y, NFFT=1024, Fs=Fs, noverlap=900)

show()

时频分析的主要方法

时频分析

时频分析（jtfa）即时频联合域分析（joint

time-frequency

analysis）的简称，作为分析时变非平稳信号的有力工具，

成为现代信号处理研究的一个热点，它作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越多的重视。时频分析方法提供了时间域与

频率域的联合分布信息，清楚地描述了信号频率随时间变化的关系。

时频分析的基本思想是：设计时间和频率的联合函数，用它

同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函数简称为时频分布。利用时频分布来分析信号，能在

每一时间指示出信号在瞬时频率串附近的能量聚集情况，并且能够进行时频滤波和时变信号综合。

信号时频分析的重要性

（1）时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

（2）信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

时频分析的主要方法

（1）窗口傅立叶变换（gabor变换）；

（2）连续小波变换；

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